La secuencia de Kolakoski es una secuencia infinita de números 1 y 2 que posee una propiedad fascinante: su descripción se encuentra codificada dentro de sí misma. Esto significa que la secuencia está formada por las longitudes de las 'carreras' (secuencias consecutivas del mismo número) que la componen. Comienza así: 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2,... Para entenderlo, considera que el primer '1' indica una carrera de longitud 1 (el propio 1). El primer '2' indica una carrera de longitud 2 (dos '2's). El siguiente '2' indica una carrera de longitud 2 (dos '1's), y así sucesivamente. Esta propiedad auto-referencial la convierte en un ejemplo de fractal, un objeto matemático que exhibe patrones similares a diferentes escalas.
El funcionamiento de la secuencia se basa en este proceso iterativo de generar carreras a partir de los valores de la secuencia misma. Formalmente, cada término de la secuencia determina la longitud de la siguiente carrera de números (ya sea '1' o '2'). Existen fórmulas recursivas para calcular el i-ésimo término de la secuencia, desarrolladas por Bertran Steinsky, lo que permite su generación computacional. Es importante destacar que la secuencia no es periódica, es decir, no se repite un patrón fijo después de un cierto punto, y tampoco contiene 'cubos' (subcadenas repetidas de la forma xxx).
Las aplicaciones directas de la secuencia de Kolakoski son limitadas, siendo principalmente un objeto de estudio en matemáticas recreativas y teoría de la computación. Sin embargo, su naturaleza auto-referencial y sus propiedades únicas la hacen relevante en el estudio de sistemas dinámicos, autómatas y la complejidad computacional. También se relaciona con conceptos como los sistemas de etiquetas (tag systems) y las secuencias de Golomb, que también exhiben propiedades de auto-generación. Investigadores han explorado la densidad de los '1's en la secuencia, buscando demostrar si es exactamente 1/2, aunque la prueba definitiva aún no se ha encontrado.
Aunque la secuencia es relativamente fácil de definir, su análisis completo presenta desafíos. Por ejemplo, no se sabe si toda cadena que aparece en la secuencia aparece infinitamente muchas veces. Existen algoritmos para generar la secuencia de manera eficiente, algunos utilizando espacio logarítmico en lugar de lineal. Alternativas a la secuencia de Kolakoski incluyen otras secuencias auto-referenciales como la secuencia de Golomb o la secuencia Look-and-say, que comparten algunas de sus propiedades pero difieren en su construcción y características.